...............صدر المجلد الأول من موسوعة الآثار في سورية...............ترقبو صدور المجلد الأول من موسوعة العلوم والتقانة ...............صدور المجلد الأول من موسوعة الآثار في سورية...............صدور المجلد الثاني عشر من الموسوعة الطبية المتخصصة بعنوان الأمراض العصبية ...............المدير العام لهيئة الموسوعة العربية الأستاذ الدكتور محمود السيد...............صدر المجلد الحادي عشر من الموسوعة الطبية المتخصصة ويتضمن أمراض الرأس ...............صدر المجلد العاشر من الموسوعة الطبية المتخصصة وهو بعنوان: الأمراض النَّفسيّة ...............إلى زوار موقع هيئة الموسوعة العربية الكرام، نلفت عنايتكم إلى أنه لا يوجد حساب لهيئة الموسوعة العربية على أي من مواقع التواصل الاجتماعي...............صدر المجلد السابع والأخير من الموسوعة القانونية المتخصصة ...............دور النشر والمكتبات المعتمدة لتوزيع الموسوعة العربية

المجلد الرابع >> العلوم البحتة>> الرياضيات و الفلك >> الانكفاء

الانكفاء Regression Régression

الانكفاء

 

الانكفاء regression هو طريقة للبحث عن علاقة ذات شكل مختار مسبقاً، تعبِّر عن الارتباط بين متغير ع يسمى المتغير التابع، ومتغير أو متغيرات أخرى س1، س2،... تسمى المتغيرات المستقلة. وقد يسمى ع متغيراً موصوفاً وتسمى س1،س2،...  متغيرات واصفة. وهذه الأخيرة ليست دائماً مستقلة.

إن العلاقة القائمة بين ع والمتغيرات س1،س2،... التي يُعبَّر عنها بـ  ع = تا (س1، س2،...)، تعرّف منحنياً أو سطحاً يسمح من أجل قيم مفروضة لـ س1،س2،... ، بتقدير قيمة ع بارتيابات عشوائية لا يمكن التعبيرعنها بدقة، بدلالة المتغيرات س1،س2،...

ظهر مصطلح الانكفاء أو الارتداد أو التراجع أول مرة في بحوث فرانسيس غالْتون (1822-1911) F.Galton في دراسته موضوع الوراثة. فَعِنْدَ عقد مقارنة بين أطول مجموعة من الآباء وأطوال أبنائهم خلُص إلى النتيجة التالية: يميل الأبناء لآباء مُفرطين في الطول إلى أن يكونوا أقصر من آبائهم، ويميل الأبناء لآباء مُفرطين في القصر إلى أن يكونوا أطول من آبائهم. وهذا يعني أن السلالات المتعاقبة لآباء بطول مفرط أو بقصر مفرط تنزع إلى الطول الوسطي للمجتمع. ومن هنا شاع تعبير الانكفاء الذي ما زال مستخدماً حتى اليوم. وفي عام 1925 اقترح ألكسندر روفيتش تشوبروف (1874-1926) A.ATchouprov، مصطلحاً بديلاً، هو «العلاقة العشوائية»، وهذا يتوافق على نحو أفضل مع الخصائص العشوائية للارتباط المدروس مهما تكن الظاهرة المفروضة، ولكن هذا التعبير غير مستخدم عملياً.

في حال متغيريْن ملاحظيْن س،ع يُمثل الارتباط الوسطي ع  بدلالة س (انكفاء ع بدلالة س)، بمجموعة من النقط نى (الشكل 1) ذات الإحداثياتى،عىحيث: يكون عى متوسط قيم ع الموافقة لقيمة معينة لـ س=سى. و يُمثل «الخط المضلعي» الواصل بين هذه النقط (حين تتغير س) انكفاء ع بدلالة س. وإذا ما أمكن تقريب هذا الخط المضلعي إلى منحنٍ بارتياب مقبول دُعي هذا المنحني «منحني الانكفاء».

الانكفاء الخطي: يقال إن الانكفاء خطي إذا أمكن تسوية الخط المضلعي للانكفاء بمستقيم، وتكتب معادلة هذا المستقيم، في هذه الحالة، بالصيغة: ع=أ+ب س،، كما يمكن أن تكتب بالصيغة: 0ع(س)=ع+ب(س-س حيث تعطى ب ، وتسمى معامل الانكفاء، بالعلاقة    

 

 

ويعطي هذا المعامل وسطياً، فكرةً عن تأثير تغيرات س على ع انطلاقاً من مجموعة المشاهدات. كذلك على نحو مماثل يمكن كتابة معادلة مستقيم الانكفاء لـ س بدلالة ع. إن هذين المستقيمين اللذين يمران من النقطة المتوسطة ن(س،ع) هما بوجه عام مختلفان، ولا يتطابقان إلا في الحال التي تقع فيها النقط نى على استقامة واحدة (وهي حال الارتباط الخطي التام بين المتغيريْن).

ولتعيين مستقيمات الانكفاء تُستخدم طريقة «المربعات الأصغرية»، فمستقيم الانكفاء هو ذاك المستقيم الذي  يجعل مجموع المربعات أصغرياً، وذلك  بفرض أن نى نَى قطعة مستقيمة موازية لأحد المحورين الإحداثيين وأن نَى تقع على مستقيم الانكفاء (الشكل 2). فإذا كان المطلوب مستقيم الانكفاء لـ ع بدلالة س كان

 

 

يسمى مربع معامل الانكفاء الخطي س بدلالة ع «مُعامل التحديد» وهو يعطى بالعلاقة: 

 ويمثل المقدار التباين الكلي، و التباين المفسَّر explained variation، ويحسب هذا من معادلة الانكفاء الخطي.

 أما إذا فُرض أن المتغير ع تابع لعدة متغيرات س1،س2،... ، فان فرضية الانكفاء الخطي المتعدد تقود إلى البحث، بطريقة المربعات الأصغرية، عن معادلة انكفاء من الصيغة: ع(س1،س2،... )=أ+ب1س12س2+... حيث تبين معاملات الانكفاء الجزئية ب1،ب2،... أثر تغيّر كل من المتغيرات س1،س2،...  في المتغير ع على التوالي. وتعرِّف المعادلة الأخيرة مستوى انكفـاءٍ في فضـاء ذي (ن + 1) بعداً. ويُعيّن مستوى الانكفاء ع بدلالة س1،س2،... بحيث يكون مجموع مربعات المسافات الموازية إلى م ع بين نقط المشاهدة والمستوي أصغرياً. ويقيس مُعاملُ الارتباط  ر أو معامل التحديد ر2:

 

 قوة العلاقة بين القيم الملاحظة للمتغير ع والقيم المقابلة المقدرة من معادلة مستوي الانكفاء.

الانكفاء المنحني: يقال إن الانكفاء منحنٍ إذا أمكن التعبير عن القيم الملاحظة لـ ع بدلالة واحد أو أكثر من المتغيرات، بدالّة (تابع) غير خطية لهذه المتغيرات.

من المسائل المطروحة في الإحصاء النظري حالة متغيرين س ، ع عُلِمتْ دالة الكثافة الاحتمالية المشتركة لهما. إن منحني الانكفاء ع بدلالة س في هذه الحال هو مجموعة النقط ذات الإحداثيات [س،تو(ع/س)] حيث يكون تو(ع/س) التوقع الرياضي (أو القيمة الوسطى) لـ ع في التوزيع الشرطي لـ ع من أجل قيمة ما لـ س ( س= س) ويعرَّف كذلك منحني الانكفاء لـ س بدلالة ع. ويعرَّفُ، في حال دالة كثافة لـ ن (عدد المتغيرات) متغيراً وبطريقة مماثلة، سطحُ انكفاء ذو ن + 1 بعداً.

وتبرز أهمية الانكفاء الخطي في حال التوزيع الطبيعي لمتغيرين (وهي حالة شائعة الحدوث)، ويمثَّل مستقيما الانكفاء عندئذ بالمعادلتين: 

 

حيث تتوالى الوسطاء مس، مع، عـس، عـع  كما يلي: المتوسطان الحسابيان، والانحرافان المعياريان للتوزيعيين الهامشيين لـ س وع . وأما ر(س،ع) فهو معامل الارتباط لهذين المتغيرين. ويقال الشيء نفسه في حال توزيع طبيعي في ن متغيراً إذ تكون سطوح الانكفاء في هذه الحال مستويات.

 

محمد شفيق ياسين

 

الموضوعات ذات الصلة:

الإحصائية (الموائمة ـ) ـ الارتباط ـ التوزيع الإحصائي.

مراجع للاستزادة:

ـ سيمور ليشتز، الاحتمالات، سلسلة شوم، ترجمة سامح داود (جامعة عين شمس 1977).

- Lawrence L, Lapin, Statistics Meaning and Method (Harcourt Brace Jovanovich, Inc., 1975).



رقم صفحه البحث ضمن المجلد:78