...............تنعى هيئة الموسوعة العربية الأستاذة الدكتورة نجدة خماش، رئيسة قسم الحضارة العربية سابقاً، والخبيرة في موسوعة الآثار حالياً...............صدور المجلد الثاني عشر من الموسوعة الطبية المتخصصة بعنوان الأمراض العصبية ...............المدير العام لهيئة الموسوعة العربية الأستاذ الدكتور محمود السيد...............صدر المجلد الحادي عشر من الموسوعة الطبية المتخصصة ويتضمن أمراض الرأس ...............صدر المجلد العاشر من الموسوعة الطبية المتخصصة وهو بعنوان: الأمراض النَّفسيّة ...............إلى زوار موقع هيئة الموسوعة العربية الكرام، نلفت عنايتكم إلى أنه لا يوجد حساب لهيئة الموسوعة العربية على أي من مواقع التواصل الاجتماعي...............صدر المجلد السابع والأخير من الموسوعة القانونية المتخصصة ...............دور النشر والمكتبات المعتمدة لتوزيع الموسوعة العربية

المجلد السابع عشر >> العلوم البحتة>> الرياضيات و الفلك >> المتسلسلة العددية

المتسلسلة العددية Numerical series Série numérique

المتسلسلة العددية

 

المتسلسلة (السلسلة) العددية numerical series هي مجموع عدد لانهائي من الأعداد الحقيقية تربط بينها صلة ما، وتُعطى مرتبة وفق أسلوب ما.

والمتسلسلات اللانهائية infinite series ذات أهمية خاصة في الرياضيات وفي كثير من العلوم، كالفيزياء والكيمياء والهندسة.

إذا كانت u0, u1, u2, …, u n, متتالية عددية[ر] لانهائية فإن المجموع الاعتباري u0 + u1 + u2 + un +… هو متسلسلة عددية. وتكتب اختصاراً:

تسمى الأعداد u0, u1, u2, …, u n, … حدود المتسلسلة. ويسمى العدد un = f (n) الحد العام general term للمتسلسلة، وهو دالة في العدد الطبيعي n. وتكون المتسلسلة معطاة إذا عُلم حدها العام un، الذي يعطى وفق قاعدة أو دستور أو أسلوب ما، كدالة في n.

مثال (1):

 

التقارب والتباعد convergence and divergence

لتكن المتسلسلة العددية  u1 + u2 + u3 + …+ un + ... الناتجة من جمع عناصر المتتالية u1, u2, …, un,…,. إن مجموع عدد n من الحدود الأولى للمتتالية هو Sn = u1 + u2 + …+ un (حيث n أي عدد طبيعي من N، أي n N) يدعى مجموعاً جزئياً   partial sum

 من المتسلسلة

  والمتتالية S1, S2, S3 ,…, Sn,. تدعى متتالية المجاميع الجزئية sequence of partial sums

 للمتسلسلة.

 إذا كانت المتتالية العددية S1, S2, S3,…, Sn,…, …. متقاربة، (أي إذا كانت Sn تسعى إلى قيمة محددة S عندما تسعى n إلى اللانهاية)، تسمى المتسلسلة العددية 

  متقاربة convergent، ويدعى S مجموع المتسلسلة the sum of the series.

وتدعى متباعدة divergent في خلاف ذلك، (أي إذا كانت Sn تسعى إلى ما لا نهاية، أو لا تسعى إلى قيمة محددة عندما تسعى n إلى اللانهاية).

إن الموضوع الأهم في دراسة متسلسلة عددية هو معرفة فيما إذا كانت المتسلسلة متقاربة أو متباعدة. إن هذه المعرفة لا تبنى دومًا على دراسة مباشرة لمتتالية المجاميع الجزئية (Sn) من خلال تحويلات جبرية بسيطة، بل تأتي معرفة التقارب والتباعد غالبًا من مقارنة المتسلسلة المدروسة un بمتسلسلة عددية أخرى vn، اعتمادًا على مبرهنات معينة تقود إلى تحديد نوع المتسلسلة un. وسيرد ذكر لبعض قواعد المقارنة فيما بعد.

مثال (2): إن المتسلسلة n 1+1+1+11+... nمتباعدة؛ لأن متتالية المجاميع الجزئية لها: S1 = 1, S2 = 2, …, Sn = n,…., تتزايد مع تزايد n وهكذا فإن Sn تسعى إلى اللانهاية عندما تسعى n إلى اللانهاية.

مثال (3): إن المتسلسلة:

 

متباعدة؛ لأن متتالية المجاميع الجزئية لها:S1 = 1, S2 = 0, S3 = 1, S4 = 0…. تتأرجح بين الواحد والصفر. وهكذا فإن Sn لا تسعى إلى قيمة محددة عندما تسعى n إلى اللانهاية.

مثال (4): إن المتسلسلة

 متباعدة؛ لأن متتالية المجاميع الجزئية لها: S1 = 1, S2 = 3, S3 = 6, S4 = 10…nمتزايدة، وإن:

 

يسعى إلى ما لا نهاية عندما تسعى n إلى اللانهاية.

مثال (5): إن المتسلسلة التي حدها العام:

حيث n = 1, 2, 3,.....n

فيها:

وإن:

أي :

أي إن:

وهي تسعى إلى الواحد عندما تسعى n إلى اللانهاية، أي إن المتسلسلة:

متقاربة ومجموعها n1nn.

المتسلسلة الهندسية geometric series

إن المتسلسلة العددية

تدعى متسلسلة هندسية، حدها الأول العدد الحقيقي  a ≠ 0 ،، وأساسها العدد الحقيقي r، وهي من المتسلسلات المهمة جدًا في الرياضيات.

إن الحد العام لمتتالية المجاميع الجزئية لها

توجد خمس حالات للمناقشة، حسب قيم الأساس r:

1) r > 1 يجعل rn يسعى إلى ما لا نهاية عندما تسعى n إلى اللانهاية، وبالتالي Sn يسعى إلى ما لا نهاية عندما تسعى nإلى اللانهاية، والمتسلسلة متباعدة.

2) r < -1 يجعل rn تتأرجح بين اللانهاية الموجبة واللانهاية السالبة عندما تسعى n إلى اللانهاية، وبالتالي Sn لا تسعى إلى قيمة محددة عندما تسعى n إلى اللانهاية، فالمتسلسلة متباعدة.

3) r = 1 يجعل Sn = a + a + … + a = na وبالتالي Sn يسعى إلى ما لا نهاية (الموجبة أو السالبة تبعًا لإشارة a) عندما تسعى n إلى اللانهاية، فالمتسلسلة متباعدة.

4) r = -1 يجعل Sn = a - a + a -a + … + (-1)n -1   a وبالتالي Sn تتأرجح بين a و0، وهذا يعني أنه ليس لها نهاية محددة عندما تسعى n إلى اللانهاية، والمتسلسلة متباعدة.

5) r| < 1 | يجعل rn يسعى إلى الصفر عندما تسعى n إلى اللانهاية، وبالتالي Sn يسعى إلى:

 

عندما تسعى n إلى اللانهاية، والمتسلسلة متقاربة.

فالمتسلسلة الهندسية

1) متقاربة إذا حقق الأساس r الشرط |r| < 1، ومجموعها

2) متباعدة إذا كانت |r| ≥ 1.

مثال (6): إن المتسلسلة العددية:

 

هي متسلسلة هندسية، حدها الأول a = 1 وأساسها

 

فهي متقاربة ومجموعها 

مثال (7): إن المتسلسلة العددية

 

هي متسلسلة هندسية، حدها الأول a = 1 وأساسها

 

فهي متباعدة.

مثال (8): إن المتسلسلة العددية

هي متسلسلة هندسية أساسها العدد الحقيقي x، وهي:

1) متقاربة إذا حقق الأساس x الشرط |x| < 1، وقيمتها

2) متباعدة إذا كانت |x| ≥ 1.

إن المجال n-1 < x < 1 يدعى مجال التقارب range of convergence (أو مدى التقارب) للمتسلسلة، حيث إن قيم x الواقعة خارج هذا المجال تجعل المتسلسلة متباعدة .

المتسلسلة التوافقية harmonic series

إن المتسلسلة العددية:

 تسمى المتسلسلة المتجانسة أو المتسلسلة التوافقية، ويبرهن أنها متباعدة.

متسلسلة ريمان Riemann series

المتسلسلة العددية التي حدها العام

 

حيث α عدد حقيقي لا يساوي الصفر، تدعى متسلسلة ريمان.

وهي متقاربة عندما   α > 1nومتباعدة عندماα ≤ 1   .

المتسلسلة المتناوبة التوافقية alternative series harmonic

المتسلسلة المتناوبة هي متسلسلة عددية un حدها العام un = (-1)nvn، حيث المتتالية vn متناقصة وحدودها موجبة

 ويسعى حدها العام vn إلى الصفر عندما تسعى n إلى اللانهاية

أما المتسلسلة العددية

 فتدعى المتسلسلة المتناوبة التوافقية وهي متقاربة، ومجموعها يساوي ln2 (أي 0.693m تقريبًا).

ومن الجدير بالذكر أن كل المتسلسلات المتناوبة متقاربة.

بعض خصائص المتسلسلات العددية

إذا كانت المتسلسلة العددية un متقاربة، فإن حدها العام un يسعى إلى الصفر عندما تسعى n إلى اللانهاية. إن هذا الشرط لازم لكنه غير كافٍ.

تكون المتسلسلة العددية un متباعدة، إذا كان حدها العام un لا يسعى إلى الصفر عندما تسعى n إلى اللانهاية.

إن حذف عدد محدود من الحدود الأولى لمتسلسلة عددية a1 + a2 + a3 + …+ an + … لا يؤثر في نوعها من حيث كونها متقاربة أو متباعدة.

كما أن إضافة عدد محدود من الحدود الجديدة إلى مقدمة متسلسلة عددية لا يؤثر في نوعها من حيث كونها متقاربة أو متباعدة.

إذا كان λ عددًا حقيقياً، وكانت unمتسلسلة عددية فإن المتسلسلة العددية λun من نوع un من حيث التقارب والتباعد.

وإذا كانت un متقاربة ومجموعها S فإن λun مجموعها λS.

إن مجموع متسلسلتين عدديتينa1 + a2 + a3 + …+ an + … وb1 + b2 + b3 + …+ bn + … هو المتسلسلة العددية (a1 + b1) + (a2 + b2) + (a3 + b3) + …+(an + bn) + ….

1) إن (an + bn) متقاربة إذا كانت an متقاربة وbn متقاربة.

2) إن (an + bn) متباعدة إذا كانت واحدة فقط من an∑ وbn متباعدة.

3) لا يمكن الحكم بتقارب أو تباعد إن (an + bn) إذا كانت كل من anوbnمتباعدة.

وبصورة عامة إذا كان λ وμ عددين حقيقيين وكانت المتسلسلة an متقاربة ومجموعها S1 وكانت المتسلسلة bn متقاربة ومجموعهاS2 فإن المتسلسلة (λ an± μbn) متقاربة ومجموعها λ S1± μS2.

مثال (9): إن المتسلسلة العددية:

متباعدة، مع أن حدها العام:

  يسعى إلى الصفر عندما تسعى n إلى اللانهاية.

كذلك فإن المتسلسلة العددية

  

متباعدة مع أن حدها العام يسعى إلى الصفر عندما تسعى n إلى اللانهاية.

مثال (10): المتسلسلتان

متباعدتان، وكذلك المتسلسلة

 متباعدة، ذلك أن المجموع الجزئي

 

يسعى إلى اللانهاية عندما تسعى n إلى اللانهاية. مع أن الحد العام لها:

يسعى إلى الصفر عندما تسعى n إلى اللانهاية.

مثال (11): إن المتسلسلة العددية

 

لا يسعى حدها العام

 إلى الصفر عندما تسعى n إلى اللانهاية فهي متباعدة. ذلك لأن الحد العام

 يسعى إلى الواحد عندما تسعى n إلى اللانهاية.

كذلك فإن المتسلسلة العددية التي حدها العام

 

متباعدة، لأن

مثال (12): إن المتسلسلة العددية

متباعدة، وكذلك المتسلسلة

 لكن متسلسلة المجموع

 متقاربة ومجموعها -1

ذلك لأن الحد العام لمتتالية المجاميع الجزئية لها

المتسلسلات الموجبة series of positive terms

إذا كانت حدود المتسلسلة العددية un تحقق الشرط: un > 0 وذلك مهما يكن العدد الطبيعي n

تسمى متسلسلة موجبة.

إن متتالية المجاميع الجزئية للمتسلسلة الموجبة غير متناقصة لأن (Sn + 1= Sn + un + 1). فهي تتقارب إذا كانت متتالية المجاميع الجزئية محدودة من الأعلى، وتتباعد إذا لم يتحقق ذلك.

مثال (13): إن متتالية المجاميع الجزئية للمتسلسلة الموجبة

محدودة من الأعلى، ذلك لأن

 

وبالتالي فإن:

فالمتسلسلة متقاربة.

معايير المقارنة criterions of comparison

1) إذا كانت un وvnمتسلسلتين موجبتين، ووجد عدد طبيعي p بحيث كانتun < vn من أجل جميع قيم n التي هي أكبر من العدد p فإن:

آ) المتسلسلة un متقاربة إذا كانت المتسلسلة vn متقاربة.

وإذا كان مجموع un يساوي S1 ومجموع vnيساوي S2 فإن S1 < S2.

ب) المتسلسلة vnمتباعدة إذا كانت المتسلسلة un متباعدة.

2) إذا كانت un وvnمتسلسلتين موجبتين، ووجد عدد طبيعي p وعدد حقيقي موجبM، بحيث كانت

 

 من أجل جميع قيم n التي هي أكبر من العدد p فإن المتسلسلتين من نوع واحد (متقاربتان معًا أو متباعدتان معًا).

3) إذا كانت un وvnمتسلسلتين موجبتين،

فإن المتسلسلتين من نوع واحد (متقاربتان معاً أو متباعدتان معاً).

مثال (14): إن المتسلسلة العددية الموجبة

 

متقاربة، وذلك بالمقارنة مع المتسلسلة المتقاربة

 (المذكورة في المثال 5).

ذلك لأن

 

وبدءاً من الحد الثاني نجد أن

 أو بكتابة

 الحد العام للمتسلسلة الأولى، و

 الحد العام للمتسلسلة الثانية، فإن

فالمتسلسلتان من نوع واحد. الثانية متقاربة، فالأولى متقاربة.

(كذلك يمكن القول إن المتسلسلة العددية هي متسلسلة ريمان، فهي متقاربة لأن فيها α = 2 > 1).

معايير التقارب criterions of convergence

يوجد عدة معايير للتقارب منها: معيار دالمبير، معيار كوشي، معيار راب، معيار غاوص، معيار برماكوف … نكتفي بذكر ثلاث منها:

1) معيار دالمبير d’Alembert criterion: إذا كانت unمتسلسلة موجبة، وكانت

فإن:

آ) المتسلسلة un متباعدة إذا كانت r > 1

ب) المتسلسلة un متقاربة إذا كانت r < 1

ج) المعيار غير فعال إذا كانت r = 1

2) معيار كوشي Cauchy criterion: إذا كانت un متسلسلة موجبة، وكانت 

فإن:

آ) المتسلسلة un متباعدة إذا كانت r > 1

ب) المتسلسلة un متقاربة إذا كانت r < 1

ج) المعيار غير فعال إذا كانت r = 1

3) معيار راب Rab criterion: إذا كانت   un  متسلسلة موجبة، وكانت

فإن:

آ) المتسلسلة un متقاربة إذا كانت r > 1

ب) المتسلسلة un متباعدة إذا كانت r < 1

ج) المعيار غير فعال إذا كانت r = 1

مثال (15): الحد العام للمتسلسلة العددية

فالسلسلة متقاربة.

مثال (16):

 

 مثال (17):

مثال (18):

مثال (19):

التقارب إطلاقًا (بالإطلاق) absolute convergence

يقال إن المتسلسلة العددية un متقاربة إطلاقاً (بالإطلاق) إذا كانت متسلسلة القيم المطلقة لحدودها متقاربة، أي إذا كانت المتسلسلة |un| متقاربة.

ـ يبرهن أن تقارب المتسلسلة |un| يؤدي إلى تقارب المتسلسلة un.

المتسلسلات الصحيحة entire series

المتسلسلة الصحيحة في المتحول الحقيقي x هي متسلسلة حدها العام من الشكل un = an xn (حيث n Î N وan متتالية أعداد حقيقية).

ـ يقال إن الدالة (التابع) f (x) قابلة للنشر بمتسلسلة صحيحة في المتحول الحقيقي x على المجال [a, b] إذا أمكن تعيين متتالية أعداد حقيقية بحيث كانت المتسلسلة الصحيحة

 a0 + a1x + a2x2 + … + anxn + …

متقاربة على هذا المجال ومجموعها f (x). أي إذا كانت

ـ دستور ماكلوران Maclaurin للنشر بجوار الصفر لدالةf (x) تحقق شروط النشر هو:

ـ دستور تايلور Taylor للنشر بجوار العدد b لدالة f (x) تحقق شروط النشر هو:

مثال (20): إن منشور بعض الدوال الشهيرة بمتسلسلات صحيحة، باستخدام دستور ماكلوران، على مجالات التقارب المذكورة بجانبها، هو:

 

 

أنور توفيق اللحام

الموضوعات ذات الصلة:

الأعداد الحقيقية ـ المتتالية العددية.

مراجع للاستزادة:

ـ أنور توفيق اللحام، الرياضيات العامة (4) (منشورات جامعة دمشق، 1982).

- J. LELONG-FERRAND et J. M. ARNOUDIÉS, Cours de mathématiques, t. II, Analyse (Dunod 1972).


اقرأ المزيد ...
رقم صفحه البحث ضمن المجلد:678